柯西中值定理 柯西中值定理几何图解

导读知识无价,关注点赞柯西是法国数学家、力学家。27岁成为巴黎综合工科学校教授,并当选为法国科学院 院士. 他的一生获得了多项重要的成果。

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柯西(Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857)是法国数学家、力学家。27岁成为巴黎综合工科学校教授,并当选为法国科学院 院士. 他的一生获得了多项重要的成果。柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究,其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等,为数学的发展做出的突出的贡献。柯西对高等数学的贡献包括:无穷级数的敛散性,实变和复变函数论,微分方程,行列式,概率和数理方程等方面的研究.目前我们所学的极限和连续性的定义,导数的定义,以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义,实质上都是柯西给出的。数学中很多定理都冠以柯西的名字,如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等。

柯西

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家(布涅柯夫斯基和施瓦茨)彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要,而且形式优美,结构巧妙,他也是高中四大经典不等式(均值不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式)之一,做为高中数学选修4-5的重要内容,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解在高考中拿分迅速准确。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面有很强大的应用。柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式,而且它对初等数学也有很可的指导作用,利用它能高远瞩、居高临下,从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。

一、柯西不等式的各种形式及其证明

一般形式及推论

三个变形

柯西不等式的证明有很多,利用均值不等式、构造函数、数学归纳法等,而二维形式、三角形式、向量形式的证明过程也很简单,在这里笔者就不进行证明,欢迎大家评论区讨论,这里只给出积分形式(施瓦茨不等式)、推广形式(卡尔松不等式)证明的几种形式,以供参考。

二维形式

三角及向量形式

积分形式

推广形式

二、柯西不等式在高考中的几种应用

当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解

先在柯西不等式的基础上把不等式构造出来,然后在进行求解。

由于许多式子的结构满足柯西不等式取等号的条件,因此可以利用不等式来解决等式的一些问题。例如下面的例题是一个三元二次方程组,依常规看,好像少了一个方程,但运用柯西不等式却可化腐朽为神奇,柳暗花明,让我们领悟到数学的奇异美。

柯西不等式结构对称和谐,具有较强的应用性,深受人们的喜爱。它作为一个基本而又重要的不等式,在数学领域中具有一定的地位。它不仅在高等数学中是一个重要的不等式,而且它对于初等数学的学习也有很大的指导意义。灵活巧妙地运用柯西不等式能高瞻远瞩,方便地解决初等和高等数学的有关问题,从而加深知识的理解与巩固。

能否熟练地应用就要看我们是否有去用它的意识,而且能否掌握其中的技巧,如果我们具备了就会使复杂问题简化,解题更加方便,快捷,收到事半功倍的效果。如何应用柯西不等式,难点在于构造,既要针对柯西不等式两端的形式,又要考虑问题所给条件和结论的内在联系,探索构造信息,有助于开阔眼界,培养思维的深刻性与发散性。其实对于数学上其它的公式、定理使用时也是如此,那就是:变形改造已知式,使定理公式的使用更便于结论的导出;创设、构造条件使看似不能利用相关定理、公式成为可能。

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