前面介绍的傅里叶变换是在频域内分析波的特性，但对于无限放大的信号，却无法处理，所以必须对范围推广到复频域，如果把傅里叶变换看做是二维空间的话，那么拉普拉斯变换就是三维空间。

学过信号处理和高数的伙伴对这个公式并不陌生，看上去很乏味，其实背后的原理让人着迷：

因为是推广到复平面，首先我们来看含有复数的指数参数含义：

如下s是个复数，所以可以分解为实部和虚部，但对时间而言S始终是常量，

但对整体e^s而言，它的旋转半径是e^0.1t, 旋转角度是1t ，所以图像是半径不断增加的螺旋状。

如果增加s虚部：

意味着同一时刻的旋转角度增加，即杆子的速度加快

比较：2t相比上面的1t而言，同一时刻的旋转角度增加，会旋转的更快，螺距会变小

如果增加s的实部

意味着旋转半径会变大，如下e^0.2t时图形

e^0.1t时图形

但同一时刻的旋转角度不变，所以螺距不变，仅是旋转半径增大。

如果实部为零，则旋转半径是常数1，图形就是一个均匀的螺旋线。其实这就是傅里叶变换的特性

实部是3时，就是一个旋转半径为3的均匀螺旋线。

如图两个实部相等的函数叠加，空间图形就是余弦波，因为他们两个起始角度相反，在空间上抵消，所以仅留下平面上的图形，

如果改变实部和虚部，将两个指数函数叠加：结合上述的分析和傅里叶级数就很容易理解：

多个指数函数叠加，因为起始角度相互抵消，所以就留下水平面上旋转半径不同的图形。

如图

通过这种方式将指数函数叠加在一起就可以创建任意的图形，这是本篇的重要思想。

结合前面的傅立叶级数和傅里叶变换，我们可以看到复指数将波形拓展到空间的任意角落，这是傅立叶变换所没有的，下一篇继续讨论由此得出的拉普拉斯变换公式原理。